Возможно, для кого-то будет бояном, но всё-таки...

1.
Мегамозг работал телефонистом, и однажды ему позвонил диспетчер из офиса и попросил найти закопанный кабель. Кабель был проложен на небольшой глубине по прямой, проходящей ровно в 5 км от той точки, где находился Мегамозг. К сожалению, связь прервалась, и диспетчер не успел уточнить, в каком направлении проходит кабель. У Мегамозга есть металлоискатель, который звенит точно над кабелем. Может ли он спланировать свой путь так, чтобы гарантированно найти кабель, пройдя при этом не более 32 км?

2.
Однажды электрику пришлось столкнуться с довольно неприятной задачей.
В трехэтажном доме проведена скрытая проводка. Наружу провода выходят только в двух местах: на третьем этаже и в подвале. В том и другом случаях вывод представляет собой пучок из 11 абсолютно одинаковых проводов. Какой конец провода в верхнем выводе соответствует тому или иному концу провода в нижнем выводе, неизвестно. Именно это и должен был установить монтер.
Чтобы выполнить свою задачу, он может сделать две вещи:
1) закоротить любые провода вверху и внизу, скрутив их концы;
2) отыскать замкнутый контур с помощью специального тестера, состоящего из батарейки и звонка. Если такой прибор присоединить к концам неповрежденного провода, раздастся звонок.
Не желая понапрасну бегать вверх и вниз по лестнице, электрик, увлекавшийся к тому же исследованием операций, уселся на ступеньке с карандашом и бумагой и вскоре придумал наиболее эффективный способ решения задачи. В чем состоял его метод?

3.
Вышли на бой две армии Инопланетян: остроконечные и тупоконечные. В каждой армии по 2*N инопланетян. У каждого инопланетянина есть ружье, при выстреле из которого он может убить не более одного противника. Инопланетяне соблюдают правила боя: сначала стреляют остроконечные, потом стреляют оставшиеся в живых тупоконечные, и потом опять оставшиеся в живых остроконечные. После этих трех залпов бой заканчивается. Вопрос: какое максимальное количество Инопланетян могло погибнуть в этой битве? Обосновать что это количествово максимально.

4.
У Мегамозга есть два стеклянных одинаковых шарика. За какое минимальное число бросков можно гарантированно определить, начиная с какого этажа 100 этажного здания шарики разбиваются?

5.
С вероятностью 1/2 в один из восьми ящиков стола (выбран случайно) положили письмо. Затем по очереди открыли 7 ящиков - все пусты. Какова вероятность что в последнем ящике письмо?

6.
80 мегамозгов встали в виде прямоугольника 10x8. В каждом продольном ряду нашли самого высокого, среди них самым низким оказался мегамозг с собакой, затем нашли в каждом поперечном ряду самого низкого, среди них самым высоким оказался мегамозг в шляпе. Спрашивается, кто выше - мегамозг с собакой или в шляпе?

7.
Одного человека приговорили к казни и посадили в тюремную камеру, но дали шанс избежать смерти. В тюремной камере нет ничего кроме двух дверей и двух охранников, которые их охраняют. За одной дверью свобода, за другой - виселица. Один охранник - либо всегда врет, либо всегда говорит правду. А второй - лжет и говорит правду строго по очереди (к тому же, не понятно, будет ли он врать на первый вопрос или говорить правду). Оба охранника знают путь на свободу. Но, заключенный не знает кто из охранников будет хитрить. Заключенный должен при помощи двух вопросов одному из охранников определить какая дверь приведет его на свободу.

8.
Есть подвал без окон, в котором 3 лампочки. Три выключателя от них находятся снаружи и так, что от них подвал не видно, и горит ли в нем свет - можно узнать только спустившись в него. Какое минимальное количество раз придется спуститься в подвал, чтобы определить, какой выключатель какой лампочке соответствует (пусть изначально все выключено)?

9.
При каких натуральных N в любом N-значном числе, не делящемся на 11, можно заменить одну цифру так, чтобы полученное число делилось на 11 ? (Найти все такие N и доказать, что других нет.)

10.
Сколько нечетных коэффициентов при степенях x в канонической записи многочлена (x+1)^2010 (x+1 в 2010-й степени) ?

11.
Путешественник прошел 1 км на юг, затем 1 км на север, затем 1 км на восток. Мог ли он оказаться в исходной точке маршрута? Если да, то укажите все такие точки на земном шаре. (Землю считать идеальным шаром.)

12.
Если посадить обезьяну за печатную машинку и устремить время печатания к бесконечности, то к чему будет стремиться вероятность того, что она напечатает (один к одному без пропусков)
а) "Войну и мир" ?
б) "Тихий дон" ?
Обезьяну считать бессмертным генератором независимых случайных нажатий, работающим с постоянной скоростью.