На протяжении шести лет приз в 7 млн долларов лежит в Математическом институте Клэя в Массачусетсе, дожидаясь того, кто решит одну из семи "призовых задач тысячелетия", над старейшей из которых бьются с 1859 года. Время от времени появлялись претенденты, но дело выглядело так, словно деньги останутся в институте до второго пришествия.

Но математический мир гудит, так как очень велика вероятность, что российский математик решил задачу тысячелетия – нашел доказательство гипотезы Пуанкаре. На протяжении почти четырех лет работу анализировали другие математики, и она выдержала все проверки, хотя работа Григория Перельмана очень необычна.

В 2002 и 2003 годах он поместил две статьи в онлайновый архив. Обычно это что-то вроде забивания колышка – я решил задачу первым! – перед публикацией в журнале, до которой может пройти несколько лет. Математическое сообщество ждало продолжения, но постепенно все стало ясно. Перельман, давно связанный с Институтом математики им. Стеклова в Петербурге, не собирается ничего больше говорить. Наверное, ему кажется, что он доказал гипотезу Пуанкаре, решили математики, а приз в 1 млн долларов его не интересует. (На электронные письма с просьбами о комментариях он не ответил.)

Стиль Перельмана напоминает карикатуру Сида Харриса с доской, заполненной уравнениями и словами "а потом произошло чудо". Один математик говорит другому: "Мне кажется, тебе стоит подробнее остановиться на втором шаге".

Гипотеза, выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, является самой знаменитой задачей топологии, области математики, которая исследует форму предметов пространства. Он предположил, что "если замкнутое трехмерное множество имеет тривиальную основную группу, оно должно быть гомогенным до трехсферности", как формулирует это Джон Милнор.

В переводе это означает, что, если вы опояшете одной резиновой лентой апельсин, а другой – булочку и сожмете их, ленты будут вести себя по-разному. Лента на апельсине будет сжиматься, не разрываясь и не соскакивая с поверхности. Лента на булочке либо разорвется сама, либо разорвет булочку. Это различие многое говорит о структуре самого пространства.

Многие математики утверждали, что доказали гипотезу, но в их решениях быстро обнаруживались фатальные ошибки. Доказательство Перельмана выжило. Дилемма института заключается в том, что, согласно правилам, доказательство должно быть опубликовано в математическом журнале. Архивы не в счет.

Размещение доказательства в архиве, а не в журнале, является лишь одним примером борьбы Перельмана с предрассудками. Он говорит, что дает лишь "набросок эклектичного доказательства" более общей гипотезы, и ни разу не упоминает Пуанкаре. Работы трудны для восприятия и крайне отрывочны. Он исходит из того, что вариация на тему предыдущих аргументов может быть доказательством, но непонятно, что такое вариация. "Работы Перельмана написаны совсем не в том стиле, какой принят в журналах", – говорит Брюс Клейнер, математик из Йельского университета.

Возможно, отрывочность демонстрирует, как гений общается с простыми смертными. Перельман считает какие-то вещи настолько очевидными, что не видит необходимости объяснять их шаг за шагом, говорят математики. Если читатель слишком туп, чтобы заполнить пробелы, его это не волнует. Или у него есть что-то более интересное, чем обоснование каждого шага, как того требует доказательство.

Другие взялись за разъяснение его работы и не нашли в ней серьезных ошибок. Как комментарии к Торе, объяснения кажутся карликами рядом с оригиналом. В статье Перельмана 2003 года 22 страницы в формате pdf; в статье 2002 года – 39 страниц. Но "Заметки к статьям Перельмана", написанные Клейнером и Джоном Лоттом из Университета Мичигана, объясняющие статьи чуть ли не построчно, занимают 192 страницы. Ожидается, что в книге о статьях будет 300 страниц. А "полное доказательство", основанное на прорыве Перельмана и опубликованное в июне в журнале Asian Journal of Mathematics (Милнор называет публикацию "обезьяньими ужимками"), занимает 328 страниц.

Интересно, можно ли считать книгу или работу Клейнера и Лотта публикацией, которой требует Институт Клэя. Если это так, возникает странная ситуация, когда авторами работы, удовлетворяющей всем условиям, являются не те, кто решил задачу. Но их усилия могут принести Перельману 1 млн долларов.

"Конечно, ситуация необычна, но важно то, что человек, совершивший прорыв, дал сообществу возможность его проанализировать", – говорит президент института Джеймс Карлсон.

Перельман сторонится известности, но его знают по лекциям, прочитанным в США, и отличным результатам международной математической олимпиады, в которой он участвовал в 16 лет. Вряд ли он приедет на международный конгресс математиков в Мадрид. Здесь раз в четыре года вручают медаль Филда, математический эквивалент Нобелевской премии, математикам не старше 40 лет. Перельмана все считают фаворитом.

А что же с призами тысячелетия? "Не думаю, что остальные шесть задач будут решены при моей жизни, – говорит Карлсон. – Впрочем, я не думал, что будет доказана гипотеза Пуанкаре".
Источник: Inopressa.ru

Доказательство длиною в век
19.03.2010 | Lenta
http://lenta.ru/articles/2010/03/19/perelman/
Григорий Перельман окончательно и бесповоротно вошел в историю

Математический институт Клэя присудил Григорию Перельману Премию тысячелетия (Millennium Prize), тем самым официально признав верным доказательство гипотезы Пуанкаре, выполненное российским математиком. Примечательно, что при этом институту пришлось нарушить собственные правила - по ним на получение примерно миллиона долларов, именно таков размер премии, может претендовать только автор, опубликовавший свои работы в рецензируемых журналах. Работа Григория Перельмана формально так и не увидела свет - она осталась набором нескольких препринтов на сайте arXiv.org (один, два и три). Впрочем, не так важно, что стало причиной решения института - присуждение Премии тысячелетия ставит точку в истории длиной более чем в 100 лет.

Кружка, пончик и немного топологии

Прежде чем выяснить, в чем состоит гипотеза Пуанкаре, необходимо разобраться, что это за раздел математики - топология, - к которому эта самая гипотеза относится. Топология многообразий занимается свойствами поверхностей, которые не меняются при определенных деформациях. Поясним на классическом примере. Предположим, что перед читателем лежит пончик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что попить кофе из пончика не получится при всем желании.

Однако тополог скажет, что чашка и пончик - это одно и то же. И объяснит это так: вообразим, что чашка и пончик представляют собой полые внутри поверхности, изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма пончика). Посмотреть, как примерно выглядит этот процесс можно тут.

Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь, например, интуитивно понятно - как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты - характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, - понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре.

Здравый смысл подсказывает нам, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка - понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так - представим, что на поверхности у нас имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой). Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой. Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть тут), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что "фундаментальная группа многообразия нетривиальна", а если таких петель нет - то тривиальна.

Теперь, чтобы честно сформулировать гипотезу Пуанкаре, любознательному читателю осталось потерпеть еще немного: надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности.

Вернемся на секундочку к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Каждую из них можно разрезать на такие мелкие кусочки, что каждый будет почти напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие - это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства.

Главным "действующим лицом" гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, "по частям" достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушария по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора.

На трехмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: "Если фундаментальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере". Непонятное словосочетание "гомеоморфно сфере" в переводе на неформальный язык означает, что поверхность можно продеформировать в сферу.

В 1887 году Пуанкаре представил работу на математический конкурс, посвященный 60-летию короля Швеции Оскара II. В ней обнаружилась ошибка, которая привела к появлению теории хаоса.

Немного истории

Вообще говоря, в математике можно сформулировать большое количество сложных утверждений. Однако что делает ту или иную гипотезу великой, отличает ее от остальных? Как это ни странно, но великую гипотезу отличает большое количество неправильных доказательств, в каждом из которых есть по великой ошибке - неточности, которая зачастую приводит к возникновению целого нового раздела математики.

Так, изначально Анри Пуанкаре, который отличался помимо всего прочего умением совершать гениальные ошибки, сформулировал гипотезу немного в другом виде, чем мы написали выше. Спустя некоторое время он привел контрпример к своему утверждению, который стал известен как гомологическая 3-сфера Пуанкаре, и в 1904 году сформулировал гипотезу уже в современном виде. Сферу, кстати, совсем недавно ученые приспособили в астрофизике - оказалось, что Вселенная вполне может оказаться гомологической 3-сферой Пуанкаре.

Надо сказать, что особого ажиотажа среди коллег-геометров гипотеза не вызвала. Так было до 1934 года, когда британский математик Джон Генри Уайтхед представил свой вариант доказательства гипотезы. Очень скоро, однако, он сам нашел в рассуждениях ошибку, которая позже привела к возникновению целой теории многообразий Уайтхеда.

После этого за гипотезой постепенно закрепилась слава крайне сложной задачи. Многие великие математики пытались взять ее приступом. Например, американский Эр Аш Бинг (R.H.Bing), математик, у которого (абсолютно официально) вместо имени в документах были записаны инициалы. Он предпринял несколько безуспешных попыток доказать гипотезу, сформулировав в ходе этого процесса собственное утверждение - так называемую "гипотезу о свойстве П" (Property P conjecture). Примечательно, что это утверждение, которое рассматривалось Бингом как промежуточное, оказалось чуть ли не сложнее доказательства самой гипотезы Пуанкаре.

Были среди ученых и люди, положившие жизнь на доказательство этого математического факта. Например, известный математик греческого происхождения Кристос Папакириакопоулос. В течение более десяти лет, работая в Принстоне, он безуспешно пытался доказать гипотезу. Он умер от рака в 1976 году/ Описанные работы - это далеко не полный список попыток решения более чем столетней гипотезы. И хотя каждая из работ и привела к возникновению целого направления в математике и может считаться в этом смысле успешной и значимой, доказать гипотезу Пуанкаре окончательно удалось только россиянину Григорию Перельману.

Примечательно, что обобщение гипотезы Пуанкаре на многообразия размерности выше трех оказалось заметно проще оригинала - лишние размерности позволяли легче манипулировать многообразиями. Так, для n-мерных многообразий (при n не меньше 5) гипотеза была доказана Стивеном Смейлом в 1961 году. Для n = 4 гипотеза была доказана методом, совершенно отличным от смейловского, в 1982 году Майклом Фридманом. За свое доказательство последний получил Филдсовскую медаль - высшую награду для математиков.

Перельман и доказательство

В 1992 году Григорий Перельман, тогда сотрудник математического института им. Стеклова, попал на лекцию Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи - новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Терстона - факта, из которого гипотеза Пуанкаре получалась как простое следствие. Эти потоки, построенные в некотором смысле по аналогии с уравнениями теплопереноса, заставляли поверхности с течением времени деформироваться примерно так же, как в начале этой статьи мы деформировали двумерные поверхности. Оказалось, что в некоторых случаях результатом такой деформации оказывался объект, структуру которого легко понять. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике.

После лекции Перельман подошел к Гамильтону. Позже он рассказывал, что Ричард его приятно удивил: "Он улыбался и был очень терпелив. Он даже рассказал мне несколько фактов, которые были опубликованы спустя лишь несколько лет. Он сделал это без колебаний. Его открытость и доброта поразили меня. Не могу сказать, что большинство современных математиков ведет себя так."

После поездки в США Перельман вернулся в Россию, где принялся трудиться над решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации (а вовсе не над гипотезой Пуанкаре) втайне от всех. Ничего удивительного, что появление 11 ноября 2002 года первого препринта Перельмана повергло математическую общественность в шок. Спустя некоторое время появилась еще пара работ.

После этого Перельман самоустранился от обсуждения доказательств и даже, говорят, прекратил заниматься математикой. Он не прервал своего уединенного образа жизни даже в 2006 году, когда ему была присуждена Филдсовская премия - самая престижная награда для математиков. Причины такого поведения автора обсуждать не имеет смысла - гений имеет право вести себя странно (например, будучи в Америке Перельман не стриг ногти, позволяя им свободно расти).
Как бы то ни было, доказательство Перельмана зажило отдельной от него жизнью: три препринта не давали покоя математикам современности. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году - крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт собственной работы, по размерам больше напоминающей книгу - 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.

Неожиданный поворот в этой истории наступил в июле этого же года. В журнале Asian Journal of Mathematics появилась статья китайских математиков Сипин Чжу и Хуайдун Цао под названием "Полное доказательство гипотезы геометризации Терстона и гипотезы Пуанкаре". В рамках этой работы результаты Перельмана рассматривались как важные, полезные, но исключительно промежуточные. Данная работа вызвала удивление у специалистов на Западе, однако получила очень одобрительные отзывы на Востоке. В частности, результаты поддержал Шинтан Яу - один из основоположников теории Калаби-Яу, положившей начало теории струн, - а также учитель Цао и Джу. По счастливому стечению обстоятельств именно Яу был главным редактором журнала Asian Journal of Mathematics, в котором была опубликована работа.

После этого математик стал ездить по миру с популярными лекциями, рассказывая о достижениях китайских математиков. В результате возникла опасность, что очень скоро результаты Перельмана и даже Гамильтона окажутся отодвинуты на второй план. Такое в истории математики случалось не раз - многие теоремы, носящие имена конкретных математиков, были придуманы совершенно другими людьми.

Однако этого не случилось и, вероятно, теперь не случится. Вручение премии Клэя Перельману (даже если тот откажется) навсегда закрепило в общественном сознании факт: российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. И неважно, что на самом деле он доказал факт более общий, развив по пути совершенно новую теорию особенностей потоков Риччи. Хотя бы так. Награда нашла героя.

V1T3K, это относится к n-мерным пространствам. Если написать

y=f(x1, x2)
y-выстота
x1-длина
x2-ширина

то решение этого уравнения можно представить в виде некоей плоскости. а если это же ур-е написать

y=f(x1, x2, x3, x4)
то математически решение тоже будет представлять некую плоскость, но ее невозможно себе представить. такой гон :)

А зачем представлять более чем 3-х мерные пространства, и 3-х мерные многообразия в частности? У нас просто нет таких органов чувств. Их невозможно представить, но можно описать, и доказать их свойства.

Игорь, мозг интерпретирует полученную информацию. Ты сам имеешь 3 измерения - 4-е ты уже никак не в силах представить. Хотя можешь спроецировать 4-х мерный объект на 3-х или даже 2-х мерное пространство(листик). Мы куб 4-х мерный рисовали.

Игорь написал(а):

четвертое время... )
почему нет?

Это спекуляция. Мы говорим про 4 однородных измерения, то есть 4 пространственных координаты. А их нельзя представить. Как говорил один из наших преподов(по дифурам)
"Я и студенты не можем себе представить 4-х мерное пространство. а те кто могут - находятся в доме с желтыми стенами".

Игорь написал(а):

четвертое время... )
почему нет?

потому что ты наверняка сейчас говоришь о проекции объекта на на определенный момент времени. Если представлять объект во времени объемно -то значит видеть одновременно и в будущем, и в прошлом :)

Игорь написал(а):

ленту мёбиуса тоже представить сложно, но кто-то же попытался ;)

чего там сложного? Объясни?

возьми да пощупай епта.

Игорь, ты читать умеешь?

Игорь написал(а):

ты же не можешь представить - возьми да сам пощупай, мистера епта ))))

Где это было написано? Или лента Мёбиуса 4-х мерна? Хорошо - что такое лента Мёбиуса, а то мы, наверно, о разных вещах говорим.

Игорь, почему, интересно, ты не можешь представить ленту Мёбиуса???
Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Её легко можно представить, ибо она вложена в 3-х мерное пространство(евклидово)
А вот представить более чем 3-х мерное пространство - невозможно.
Сам включай мозг, если есть что включать.

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса,петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство R³. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

видимо слово "пример" ниачом не говорит

Исправлено Игорь (23.03.10 15:27)

+1

drug_detei, круто.. Равняться надо на таких людей.