А. Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Однажды нес пастух куда-то молоко,

Но так ужасно далеко,                         

Что уж назад не возвращался.           

Читатель! Он тебе не попадался?       

Козьма Прутков

"Пастух, молоко и читатель" (басня). 

Б. Как правило, на этот вопрос легкомысленно отвечают: обойду земной шар и приду на то же место, откуда вышел. Это, разумеется, неверно.

Преположим, например, что вы отправились на северо-восток Киева и добрались уже до Москвы, т.е. сменили широту на более северную. Чтобы попасть опять в Киев, вам неминуемо придется где-то в дальнейшем вернуться на более южную широту Киева, т.е. прекратить свое движение на северо-восток и идти на юг, юго-запад или юго-восток, что будет нарушением условия нашей задачи.

Куда же вы попадете при соблюдении условий?

Магнитная стрелка, непреодолимо

влекомая к северу, подобна мужу,

который блюдет законы.                 

Козьма Прутков

"Мысли и афоризмы", № 32.           

В. Северо-восток - точка горизонта, которая на 45° восточнее севера и на 45° севернее востока. Идти на северо-восток - значит идти все время под углом 45° к меридианам и параллелям, с каждым шагом увеличивая свою северную широту и восточную долготу. Долгота неисчерпаема: как далеко на восток ни была бы данная точка, всегда найдется точка еще восточнее. Этого нельзясказать о широте: если с каждым шагом увеличивать свою северную широту, то в конце концов она будет полностью исчерпана, т.е. мы окажемся на Северном полюсе, где широта максимальная и равна 90%. Попав на Северный полюс, мы уже не сможем продолжать движение на северо-восток, так как там такого понятия не существует. Перефразируя Пруткова, мы можем сказать, что муж, который блюдет условия задачи, будет, подобно магнитной стрелке, непреодолимо влеком к северу.

Легко сообразить, что если идти на юго-восток (или юго-запад), то мы придем на Южный полюс. И вообще, под каким бы углом мы ни пересекали параллели, мы обязательно придем на Северный, либо на Южный полюс, если будем выдерживать этот угол постоянным. И только если идти точно на восток или на запад, то мы ни на тот, ни на другой полюс не попадем, а действительно придем на то место, откуда вышли.

Интересно проследить путь, по которому мы будем идти. На географической карте в меркаторской проекции (где меридианы и параллели - два взаимно перпендикулярных семейства параллельных прямых) наш путь будет прямой линией, поднимающейся под углом 45° к параллелям. Линия, составляющая постоянный угол со всеми пересекаемыми параллелями, называется локсодромией и широко используется в морской навигации ввиду простоты вождения кораблей по ней.

Особенно интересен последний участок нашего пути - у полюса. На рисунке показаны окрестности Северного полюса (район, охватываемый 89-й параллелью). Столь малый район можно считать приблизительной плоским. Тогда путь под постоянным углом к меридианам и параллелям имеет вид логарифмической спирали. Чем ближе к полюсу, тем мельче витки этой спирали (показать на рисунке все витки невозможно), причем число витков спирали бесконечно велико, хотя длина спирали все-таки конечна. Чем меньше угол между траекторией нашего пути и параллелями, тем гуще витки спирали, которую мы описываем (ср. кривые А для 45° и Б для 15°).

Примечение: взято из книги "Смотри в корень!", П.В. Маковецкий.